Récement j'ai trouvé sur ce site: https://www.pedagogie.ac-nice.fr/mathematiques/les-sujets-et-corriges-des-olympiades-de-mathematiques-2021/ les sujets d'une olympiade de math que je me suis amusé à faire. Et ça m'a donné envie de faire un compte rendu des solutions. Un peu comme une write-up. Sur le sujet en question je n'ai fais que le premier exercice.
Voici l'énoncé:
Soient a et n des entiers naturels non nuls.
On dit que la puissance a^n est « non triviale » lorsque n > 2.
Par exemple, 3^2 est une puissance non triviale mais 3^1 ne l’est pas.
On appelle nombre multi-puissances un nombre entier naturel supérieur ou égal à deux qui peut
s’écrire au moins de deux manières différentes sous la forme de puissances non triviales.
Par exemple, 1296 est un nombre multi-puissances car 1296 = 6^4 = 36^2, et les puissances 6^4 et 36^2 sont
non triviales.
L’objectif de cet exercice est d’étudier quelques nombres multi-puissances.Et voici la première question:
1. Démontrer que 64 est un nombre multi-puissances.D'après l'énoncé, il faut donc trouver deux manières différentes d'écrire ce nombre sous forme de puissances non-triviales. Ce qui n'est pas bien difficile.
64 = 8^2 = 4^3Question suivante:
2. Démontrer que, pour tout entier naturel a tel que a > 2, le nombre a^4 est un nombre multi-puissances.Ici ça se corse un peu mais ça reste simple. Personnellement, j'ai commencé à comprendre avec l'exemple de l'énoncé: $ 1296 = 6^4 = 36^2 $. Ici 1296 est un nombre multi-puissance grâce à deux puissances non triviales 4 et 2. Cela m'a rappelé la propriété suivante: $ (a^b)^c = a^b*c $ ce qui est exactement notre cas car $ 𝑎^4 = (𝑎^2)^2$. Ainsi:
Pour tout entier naturel a tel que a > 2, le nombre a^4 est un nombre multi-puissances car 𝑎^4 = (𝑎^2)^2 = 𝑏^2 où b= 𝑎^2Dernière question:
3. Déduire de la question précédente deux autres nombres multi-puissances autres que 1296 et 64.Simple, prenons deux paires de nombres aux hasard: 3 et 9 car $3^2 = 9$ ainsi que 4 et 16 car $4^2 = 16$.
3^4 = 9^2 = 81
4^4 = 16^2 = 256Problème résolu et premier exerice finit !
Voici l'énoncé:
On admet que si x est un nombre multi-puissances alors il possède au moins deux diviseurs positifs
autres que 1 et lui-même.
On notera D(x) l’ensemble des diviseurs positifs de x. Par exemple, D(64) = {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64}.Première question:
1. Quels sont les diviseurs positifs de 9 ? En déduire que 9 n’est pas un nombre multi-puissances.Les diviseurs de 9 sont: D(9) = {1, 3, 9}. Comme nous pouvons le voir, 9 ne possède aucun diviseur positif autre que 1 et lui même. Il n'est pas un nombre multi-puissance.
Question suivante:
2. Démontrer que 7 n’est pas un nombre multi-puissances.Très simple lorsque l'on connaît la définition d'un nombre premier: un nombre premier n'admet que 1 et lui même comme diviseur. Sinon il suffisait de lister tous ses diviseurs et de remarquer qu'il ne possède au moins deux diviseurs autre que 1 et lui même. Réponse rédigée:
Remarquons ici que 7 est un nombre premier, par définition, il ne possède que 1 et lui même comme diviseur. Ainsi il ne peut pas s’écrire sous la forme d’une puissance non triviale et donc être un nombre multi-puissance.Question suivante:
3. On rappelle qu’un nombre premier est un nombre qui admet exactement deux diviseurs positifs
différents : 1 et lui-même.
Un nombre premier peut-il être un nombre multi-puissances ?Tiens tiens... Nous y avons déjà répondu à la question précédente ! Voici une autre réponse rédigée.
Un nombre premier n'admet que 1 et lui même comme diviseur. Un nombre multi-puissance, d'après l'énoncé, doit admettre au moins deux diviseurs autre que 1 et lui même. Par définition un nombre premier ne peut donc être un nombre multi-puissance.Dernière question:
Trouver un nombre entier naturel x > 2 qui admet au moins deux diviseurs positifs autres que 1
et x et qui ne soit pas un nombre multi-puissances.Pour résoudre cette question, j'ai simplement continuer de réfléchir avec les nombres premiers. A partir de ça, j'ai cherché à trouver un nombre avec plus de deux diviseurs autres que 1 et lui même. J'ai décidé de multiplier deux nombres premiers: $3 * 7 = 21$. Prenons donc 21. Voici la solution rédigée:
D(21) = {1, 3, 7, 21}
S’il existe une manière d’écrire 21 sous la forme d’une puissance non triviale 𝑎^𝑛, nous avons nécessairement 𝑎 ∈ {3, 7}.
21 n’est ni une puissance de 3 ni une puissance de 7.
Ainsi 21 n’est pas un nombre multi-puissances, il n’admet même pas une écriture sous forme de puissance non
triviale.
Donc 𝑥 = 21 admet deux diviseurs positifs autres que 1 et 𝑥 et n’est pas un nombre multi-puissances
La condition qu'un nombre multi-puissances doit possèder au moins deux diviseurs positifs autres que 1 et lui-même est donc nécessaire mais insuffisante.Enoncé:
On appelle puissance irréductible d’un nombre multi-puissances l’écriture a^n de ce nombre où a ne
peut pas s’écrire sous la forme d’une puissance non triviale.
Par exemple, 362 n’est pas une puissance irréductible de 1296 car 36 = 62 tandis que 62 est une puissance
irréductible de 36 car 6 ne peut pas s’écrire sous la forme d’une puissance non triviale.
On admet qu’un nombre multi-puissances possède une unique écriture sous forme d’une puissance
irréductible.Première question
1. On considère le nombre multi-puissances 64.
(a) Écrire les trois puissances non triviales égales à 64.
(b) Préciser la puissance irréductible de 64a) Easy: $8^2$, $4^3$ et $2^6$
b) Il faut donc vérifier chaque écriture $a^n = 64$ que a peut s'écrire sous forme de puissance non triviale (cad: a = b^n avec n ≥ 2).
8 = 2^3. Donc 8^2 n'est pas irréductible
4 = 2^2. Donc 4^3 n'est pas irréductible
2 = 2^1.Comme 2 ne peut pas d'écrire sous forme non triviale. La puissance irréductible de 64 est 2^6.
Seconde question
Dans la suite du sujet, on admet le résultat suivant : « Si x est un nombre multi-puissances tel que la
puissance irréductible est a^n, alors n n’est pas un nombre premier. »
2. Démontrer que si a^n est la puissance irréductible d’un nombre multi-puissances x, alors on a
n > 4.Pour qu'un nombre a sous la forme $a^n$ soit la puissance irréductible d'un nombre multi-puissance, il faut que le nombre a soit non-triviale et donc avoir n ≥ 2. Or comme nous dis l'énoncé, n ne peut être premier et comme 2 et 3 le sont alors n doit impérativament être supérieur ou égal à 4.
Dernière question
3. Démontrer que le plus petit nombre multi-puissances est 16.Malheureusement pour cet exercice j'ai séché et je n'ai pas su trouver la réponse... Je vous donne la correction ici.
16 = 4^2 = 2^4 est un nombre multi-puissances.
Soit 𝑥 un nombre multi-puissances dont on note 𝑎𝑛 la forme irréductible.
Comme 𝑛 ≥ 4, on a 𝑎𝑛 ≥ 𝑎^4
Or la fonction carrée est strictement croissante sur [0; +∞[ d’où
𝑎 ≥ 2 ⟹ 𝑎^2 ≥ 4 ⟹ (𝑎^2)^2 ≥ 4^2 ⟹ 𝑎^4 ≥ 16
Ainsi on a { 𝑥 ≥ 𝑎^4
𝑎^4 ≥ 16 ⟹ 𝑥 ≥ 16.
Il n’existe donc pas de nombres multi-puissances strictement inférieurs à 16.Et voilà l'exercice terminé ! Amusez-vous à le faire le second si vous le souhaitez. Voici aussi le corrigé de l'olympiade: https://www.pedagogie.ac-nice.fr/mathematiques/wp-content/uploads/sites/30/2021/03/OM2020IndVT_Correction.pdf
J'espère que mes petits ajouts et code en python vous ont plus ! Personnellement j'ai adoré faire cette olympiade, je ferais surement d'autres sujets avec un notebook évidement.